Produktraum/RxR/Häufungspunkt/Komponenten/Aufgabe

Es sei ${}z_{n}=\left(x_{n},\,y_{n}\right)$ eine Folge im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden reellen Komponentenfolgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben sei, und sei ${}z=(x,y)$ ein Punkt. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}z$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}y$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
2. Wenn ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}y$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist ${}z$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

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