Produktring/Ideal/Hauptideal/Aufgabe/Lösung

  1. Wegen

    ist nicht leer. Für zwei Elemente und aus ist jeweils . Daher ist stets und somit gehört

    zum Ideal. Für

    und

    ist jeweils und daher . Somit gehört

    zu .

  2. Zu einem Ideal

    setzen wir

    Hierbei steht an der -ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in : Es ist ; wenn

    ist auch

    Wenn und ist, so ist

    und somit ist

    also . Wir behaupten

    Wenn

    ist, so ist auch (mit der an der -ten Stelle)

    also . Also ist . Wenn umgekehrt ist, so ist , also

    Wegen

    ist somit .

  3. Es seien zunächst die Hauptideale in . Für jedes Element ist dann mit einem . Damit ist

    also ist ein Erzeuger von und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ein Hauptideal ist, so sei ein Erzeuger davon. Zu jedem gehört zu und somit gibt es ein mit

    Also ist

    und daher ist ein Erzeuger von .

  4. Dies folgt unmittelbar aus (3).