Produktring/Ideal/Hauptideal/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   $0=(0,0,\ldots ,0)\in I$

   ist ${}I$ nicht leer. Für zwei Elemente ${}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ und ${}b=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ aus ${}I$ ist jeweils ${}a_{j},b_{j}\in I_{j}$. Daher ist stets ${}a_{j}+b_{j}\in I$ und somit gehört

   ${}a+b=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,$

   zum Ideal. Für

   $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$

   und

   $r=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\in R$

   ist jeweils ${}a_{j}\in I_{j}$ und daher ${}r_{j}a_{j}\in I_{j}$. Somit gehört

   ${}ra=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}a_{1},r_{2}a_{2},\ldots ,r_{n}a_{n})\,$

   zu ${}I$.

2. Zu einem Ideal

   ${}I\subseteq R\,$

   setzen wir

   ${}I_{j}={\left\{x\in R_{j}\mid (0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I\right\}}\,.$

   Hierbei steht ${}x$ an der ${}j$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in ${}R_{j}$: Es ist ${}0\in I_{j}$; wenn

   $(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0),(0,\ldots ,0,y,0,\ldots ,0)\in I$

   ist auch

   $(0,\ldots ,0,x+y,0,\ldots ,0)\in I;$

   Wenn ${}x\in I_{j}$ und ${}r\in R_{j}$ ist, so ist

   $(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I$

   und somit ist

   $(0,\ldots ,0,r,0,\ldots ,0)(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)=(0,\ldots ,0,rx,0,\ldots ,0)\in I,$

   also ${}rx\in I_{j}$. Wir behaupten

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,.$

   Wenn

   $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$

   ist, so ist auch (mit der ${}1$ an der ${}j$-ten Stelle)

   $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\cdot (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I,$

   also ${}a_{j}\in I_{j}$. Also ist ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$. Wenn umgekehrt${}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ ist, so ist ${}a_{j}\in I_{j}$, also

   $(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I.$

   Wegen

   ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(a_{1},0,\ldots ,0)+(0,a_{2},0,\ldots ,0)+\cdots +(0,0,\ldots ,a_{n})\,$

   ist somit ${}a\in I$.

3. Es seien zunächst die ${}I_{j}=(f_{j})$ Hauptideale in ${}R_{j}$. Für jedes Element ${}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$ ist dann ${}a_{j}=r_{j}f_{j}$ mit einem ${}r_{j}\in R_{j}$. Damit ist

   ${}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}f_{1},r_{2}f_{2},\ldots ,r_{n}f_{n})=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,,$

   also ist ${}(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})$ ein Erzeuger von ${}I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ${}I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ ein Hauptideal ist, so sei ${}(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})$ ein Erzeuger davon. Zu jedem ${}a_{j}\in I_{j}$ gehört ${}(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)$ zu ${}I$ und somit gibt es ein ${}r\in R$ mit

   ${}(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,.$

   Also ist

   ${}a_{j}=r_{j}f_{j}\,$

   und daher ist ${}f_{j}$ ein Erzeuger von ${}I_{j}$.

4. Dies folgt unmittelbar aus (3).

Zur gelösten Aufgabe