Produktring/Idempotent/Einführung/Textabschnitt
Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .
Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.
Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.
Die Elemente und sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert oder besitzen, idempotent, also beispielsweise . In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element besitzt die Eigenschaft
Im nullteilerfreien Fall folgt daraus oder .
Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.