Produktring/Ringhomomorphismus/Komponenten surjektiv/Standardelemente/Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe und es seien ${}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)$ zum Bild von ${}\varphi$ gehören. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

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