Die Koszul-Auflösung ist minimal,
0
⟶
R
(
−
3
)
⟶
R
(
−
2
)
3
⟶
R
(
−
1
)
3
⟶
R
⟶
R
/
(
x
,
y
,
z
)
⟶
0
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow R(-3)\longrightarrow R(-2)^{3}\longrightarrow R(-1)^{3}\longrightarrow R\longrightarrow R/(x,y,z)\longrightarrow 0\,.}
Zugehöriger Garben-Komplex:
0
⟶
O
(
−
3
)
⟶
O
(
−
2
)
3
⟶
O
(
−
1
)
3
⟶
O
⟶
0
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0\,.}
Komplexe für die symmetrischen Potenzen:
0
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
S
k
(
O
(
−
1
)
3
)
⟶
S
k
−
1
(
O
(
−
1
)
3
)
⟶
0
{\displaystyle {}0\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-1)^{3})\longrightarrow S^{k-1}({\mathcal {O}}(-1)^{3})\longrightarrow 0\,}
und
0
⟶
O
(
−
3
)
⊗
S
k
−
1
(
O
(
−
2
)
3
)
⟶
S
k
(
O
(
−
2
)
3
)
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
0
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-3)\otimes S^{k-1}({\mathcal {O}}(-2)^{3})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-2)^{3})\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0\,.}
bzw.
0
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
O
(
−
k
)
(
k
+
2
2
)
⟶
O
(
−
k
+
1
)
(
k
+
1
2
)
⟶
0
(
1
)
{\displaystyle {}0\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow {\mathcal {O}}(-k)^{\binom {k+2}{2}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-k+1)^{\binom {k+1}{2}}\longrightarrow 0\quad (1)\,}
und
0
⟶
O
(
−
2
k
−
1
)
(
k
+
1
2
)
⟶
O
(
−
2
k
)
(
k
+
2
2
)
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
0.
(
2
)
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2k-1)^{\binom {k+1}{2}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2k)^{\binom {k+2}{2}}\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0.\quad (2)\,.}
h
0
(
O
(
−
2
k
−
1
+
m
)
(
k
+
1
2
)
)
−
h
0
(
O
(
−
2
k
+
m
)
(
k
+
2
2
)
+
h
0
(
O
(
−
k
+
m
)
(
k
+
2
2
)
)
−
h
0
(
O
(
−
k
+
1
+
m
)
(
k
+
1
2
)
)
{\displaystyle {}h^{0}({\mathcal {O}}(-2k-1+m)^{\binom {k+1}{2}})-h^{0}({\mathcal {O}}(-2k+m)^{\binom {k+2}{2}}+h^{0}({\mathcal {O}}(-k+m)^{\binom {k+2}{2}})-h^{0}({\mathcal {O}}(-k+1+m)^{\binom {k+1}{2}}){\mathcal {\,}}}
Z.B. für k=5 und Twists m=1..20 erhält man folgende Wechselsummen:
0, 0, 0, -15, -24, -27, -24, -15, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
Die negativen Werte kommen vom Cokern in
h
1
(
S
k
(
S
y
z
)
(
m
)
)
{\displaystyle {}h^{1}(S^{k}(Syz)(m))}
hier ). Somit kommt unter Berücksichtigung des Cokerns in der Gesamtsumme Null heraus.
