Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Die Uq-Summe

Betrachte die kurze exakte Sequenz

$0\rightarrow {\rm {Syz}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow 0$

und den Koszul-Komplex der abgeleiteten Potenzen (derived powers) dazu. In Charakteristik Null sind die abgeleiteten gleich den symmetrischen Potenzen, und der Koszul-Komplex sieht so aus:

$0\rightarrow S^{q}({\rm {Syz}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\otimes {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\otimes \bigwedge ^{2}{\rm {Syz}}_{1}\rightarrow \ldots$

Sei jetzt

${\mathcal {U}}_{q}:={\rm {ker}}{\big (}S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\otimes {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\otimes \bigwedge ^{2}{\rm {Syz}}_{1}{\big )}.$

Nun definieren wir

$UqSum(q):=\sum _{m}h^{1}({\mathcal {U}}_{q}(m)).$

Diese Definition ist ursprünglich aus der Idee entstanden, sich so etwas wie ${}\sum _{m}h^{2}(S^{q}({\rm {Syz}}_{2})(m))$ anzuschauen.