Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Fermat-Kubik/x,y,z

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse einer CoCoA-Berechung für die symmetrische Hilbert-Kunz Funktion für die Fermat-Kubik ${}\mathbb {Q} [x,y,z]/(x^{3}+y^{3}+z^{3})$, d.h. für das maximale Ideal ${}(x,y,z)$. Der Quotient ${}Q(k)$ ist der Quotient aus der Dimension und der dritten Standarddimension für die Standardparameter in ${}\mathbb {Q} [x,y]$, siehe hier. Der erwartete Limes ist ${}{\frac {9}{4}}=2,25$.

Dabei können aufeinanderfolgende Werte identisch sein, bspw. ist für ${}k=5$ und ${}6$

${}{\frac {75}{35}}={\frac {15}{7}}={\frac {120}{56}}\,$

und für ${}k=15,16$ hat man

${}{\frac {1520}{680}}={\frac {38}{17}}={\frac {1824}{816}}\,.$

Außerdem ist die Funktion nicht monoton wachsend, bei den Übergängen ${}9,10$ und ${}13,14$ und ${}17,18$ und ${}19,20$ fällt die Funktion, und so weiter. Der ${}30$.ste Wert ist sogar kleiner als der ${}27$.ste.

k	${}(x,y,z)$
	Dim	Q(k)
1	1	1
2	6	1,5
3	20	2
4	42	2,1
5	75	2,1428
6	120	2,1428
7	184	2,1904
8	264	2,2
9	365	2,2121
10	486	2,2090
11	636	2,2237
12	810	2,2252
13	1015	2,2307
14	1248	2,2285
15	1520	2,2352
16	1824	2,2352
17	2169	2,2383
18	2550	2,2368
19	2980	2,2406
20	3450	2,2402
21	3971	2,2422
22	4536	2,2411
23	5160	2,2434
24	5832	2,2430
25	6565	2,2444
26	7350	2,2435
27	8204	2,2452
28	9114	2,2448
29	10095	2,2458
30	11136	2,2451
31	12256	2,2463
32	13440	2,2459
33	14705	2,2467
34	16038	2,2462
35	17460	2,2471
36	18954	2,2467
37	20539	2,2474
38	22200	2,2469
39	23960	2,2476
40	25800	2,2473
41	27741	2,2478
42	29766	2,2475
43	31900	2,2480
44	34122	2,2478
45	36455	2,2482

Positive Charakteristik

Eine analoge Rechnung (d.h. Berechnung der Dimension des Cokerns der Abbildung ${}S^{n}(F_{1})\rightarrow S^{n-1}(F_{1}),e_{\nu }\mapsto \sum _{i}f_{i}e_{\nu -1_{i}}$) über ${}\mathbb {F} _{2}$ ergibt die Werte: 1, 7, 20, 42, 75, 121, 184.

Über ${}\mathbb {F} _{5}$: 1, 6, 20, 42, 75, 120, 184.