Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Syz2/Ansatz

Sei

$0\longrightarrow Syz_{2}\longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}={\mathcal {O}}\longrightarrow 0$

die minimale Auflösung des Ideals (auf projektiver Fläche). Der Ansatz ist, über die symmetrische Asymptotik der zweiten Kohomologie des zweiten Syzygienbündels, also von

$\sum _{m\geq 0}h^{2}((S^{q}(Syz_{2}))(m))$

auf die Frobenius-Asymptotik zu schließen, also auf

$\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(Syz_{2}))(m)).$

Der direkte Ansatz ist, dass sich beide Asymptotiken gleich verhalten. Die zugehörige symmetrische Hilbert-Kunz-Theorie ergibt sich dann, indem man aus der (vermuteten/angenommenen) ${}h^{2}$-Frobenius-Asymptotik über die (virtuelle) Frobenius-Auflösung die Multiplizität berechnet. Es ist (in positiver Charakteristik)

${}{\begin{aligned}lg(R/I^{[q]})&=\sum _{m\geq 0}h^{1}((F^{e*}(Syz_{1}))(m))\\&=\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(Syz_{2}))(m))-\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(F_{2}))(m))+\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(Syz_{1}))(m))\\&=\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(Syz_{2}))(m))-\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(F_{2}))(m))+\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(F_{1}))(m))-\sum _{m\geq 0}h^{2}((F^{e*}(F_{0}))(m)).\end{aligned}}$

Die ${}F_{i}$ sind eine direkte Summe von Summanden vom Typ ${}{\mathcal {O}}(-q\alpha )$, die Aufsummierung der ${}H^{2}$-Terme ergibt asymptotisch

${\frac {\alpha ^{3}\delta }{6}}q^{3}$

(wobei ${}\delta$ der Grad von ${}{\mathcal {O}}(1)$ ist). Wenn man

$F_{1}=\bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(-d_{i}){\text{ und }}F_{2}=\bigoplus _{j}{\mathcal {O}}(-\alpha _{j})$

ansetzt, so ist die Wechselsumme nach Division durch ${}q^{3}$ gleich

${\frac {\delta }{6}}(-\sum _{j}\alpha _{j}^{3}+\sum _{i}d_{i}^{3}).$

Damit lautet die Definition für die ${}H^{2}(Syz_{2})$-symmetrische Hilbert-Kunz Multiplizität

$\mu =\operatorname {rk} (Syz_{2})\lim _{q}{\frac {\sum _{m\geq 0}h^{2}((S^{q}(Syz_{2}))(m))}{\operatorname {rk} \,(S^{q}(Syz_{2}))q^{3}}}+{\frac {\delta }{6}}(-\sum _{j}\alpha _{j}^{3}+\sum _{i}d_{i}^{3}).$

Im Fall einer endlichen projektiven Auflösung liefert das asymptotisch das Richtige.

Bei Fermat-Flächen ${}x^{\delta }+y^{\delta }+z^{\delta }+w^{\delta }=0$ hat man

$F_{1}=\oplus _{4}{\mathcal {O}}(-1){\text{ und }}F_{2}=\oplus _{6}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-\delta ).$

Daher ist der Wechselsummenterm gleich

${\frac {\delta }{6}}(-6\cdot 8-\delta ^{3}+4)={\frac {\delta }{6}}(-44-\delta ^{3}).$

Aus der bekannten Formel für die Frobenius-Hilbert-Kunz Multiplizität ${}{\frac {2\delta }{3}}$ ergibt sich für die ${}H^{2}$-Frobenius Asymptotik der Limes

${\frac {2\delta }{3}}+{\frac {\delta }{6}}(44+\delta ^{3})=8\delta +{\frac {\delta ^{4}}{6}}$

bzw. wenn man durch den Rang (also ${}4$) dividiert der Grenzwert

$2\delta +{\frac {\delta ^{4}}{24}}.$

Dies ergibt bei

${}\delta =2$: ${}4,6666$

${}\delta =3$: ${}9,375$

${}\delta =4$: ${}18,666$

${}\delta =5$: ${}36,0416$

Im Parameterfall mit den Graden ${}a,b,c$ ergibt sich die Wechselsumme

${\frac {\delta }{6}}(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+ac^{2}+a^{2}c+bc^{2}+b^{2}c))$

und damit erwartet mat für den asymptotischen ${}H^{2}$-Wert

$\delta abc+{\frac {\delta }{6}}(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+ac^{2}+a^{2}c+bc^{2}+b^{2}c)).$

Bei konstantem Grad ${}a$ ist das

$\delta {\frac {9}{2}}a^{3}.$