Projekt:FE Beobachtung 1/Lidar/Lidar-Gleichung

Teilprojekt Lidar

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LIDAR - Gleichung

Die Lidar-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den physikalischen Vorgängen in der Atmosphäre und dem mit Hilfe des Lidars gemessenen Signals. Sie gibt die Leistung P(r) des rückgestreuten Lichts bei fester Wellenlänge an.

${P(r)}={K\cdot }{G(r)\cdot }{\beta (r)\cdot }{T(r)}$

Die empfangene Leistung P(r) ist abhängig von vier Größen, die im Folgenden charakterisiert sind.

1. K - Systemkonstante

$K={P_{0}\cdot }{\frac {c\cdot \tau }{2}}\cdot {A\eta }$

• $P_{0}$...mittlere Leistung pro Laserpuls
• c...Lichtgeschwindigkeit
• ${\tau }$...zeitliche Pulslänge
• A...Fläche der primären Empfangsoptik
• η...die gesamte Systemeffizienz (optische Transmission von Sender und Empfänger sowie Detektionseffizienz)

2. G(r) - Entfernungsabhängige Messgeometrie

$G(r)={\frac {O(r)}{r^{2}}}$

• O(r)...Überlappungsfunktion von Laserstrahl und Empfänger-Gesichtsfeld,
• ${r^{2}}$...Empfangsfläche macht den Teil einer Kugelfläche mit dem Radius R in dieser Entfernung vom Streuort aus

3. β(r) - Rückstreukoeffizient

${\beta (r,\lambda )}$

In der Atmosphäre setzt sich dieser aus ${\beta (r,\lambda )}={\beta _{Ray}(r,\lambda )}+{\beta _{Mie}(r,\lambda )}$ zusammen.

Der Rückstreukoeffizient (abhängig von der Wellenlänge des Laserlichts) gibt die Stärke des Lidarsignals an und beschreibt, wie viel Licht in die Rückwärtsrichtung gestreut wird.

4. T(r) - Transmissionsterm

..beschreibt den auf dem Weg vom Lidar zum Streuvolumen und zurück verloren gehenden Teil des Lichts.

$T(r,\lambda )={\exp \left[-2\int _{0}^{r}\alpha (r,\lambda )dr\right]}$

• das Integral... beschreibt dabei den Weg vom Lidar bis zum Ort der Rückstreuung r
• Hin- und Rückweg werden durch den Faktor 2 berücksichtigt
• α(r,λ)...Extinktionskoeffizient

Die Abhängigkeit von α(r,λ) und ${\beta (r,\lambda )}$ von der Wellenlänge des Laserlichts, wird bestimmt durch die Größe, den Brechungsindex und die Form der streuenden Partikel.

Durch das Einsetzen der Einzelgleichungen in die Lidargleichung ergibt sich die erweiterte Lidargleichung.

$P(r,\lambda )={P_{0}\cdot }{\frac {c\cdot \tau }{2}}\cdot {A\eta }\cdot {\frac {O(r)}{r^{2}}}\cdot {\beta (r,\lambda )}\cdot {\exp \left[-2\int _{0}^{r}\alpha (r,\lambda )dr\right]}$

Die Lidar-Gleichung enthält mindestens drei unbekannte physikalische Größen. Bei der Messung mit dem Lidar ergibt sich jedoch nur eine Messgröße, somit ist das System unterbestimmt und lässt sich nur durch weitere externe Informationen lösen.

In der Lidar-Gleichung sind die für die Aerosolmessung wichtigen Größen, namentlich der Rückstreukoeffizient ${\beta _{Mie}}$ und der Extinktionskoeffizient ${\alpha _{Mie}}$ enthalten. Diese Parameter beschreiben Streuprozesse sowohl an Aerosolen als auch an Luftmolekülen. Im Falle der elastischen Rückstreusignale lassen sich der Rückstreu- und Extinktionskoeffizient daher in ihre zwei Komponenten aufteilen, den Anteil der Mie-Streuung an sphärischen Aerosolen und den Anteil der Rayleigh-Streuung an Luftmolekülen.

Um aus dem Lidar-Signal Schlussfolgerungen über die Aerosoleigenschaften ziehen zu können, muss die Lidar-Gleichung invertiert werden. Dazu ist es sinnvoll,zunächst das Rückstreuverhältnis r einzuführen, das die relativen Beiträge von Aerosol- und molekularer Rückstreuung beschreibt:

$R(z)={\frac {{\beta _{Aer}}+{\beta _{Ray}}}{\beta _{Ray}}}=1+{\frac {\beta _{Mie}}{\beta _{Ray}}}$

Das Problem bei der Inversion der Lidar-Gleichung ist, dass die elastische Rückstreuung von einer Gleichung beschrieben wird, die zwei Unbekannte enthält: r und ${\alpha _{Mie}}$. Die Gleichung ist daher unterbestimmt und nicht ohne zusätzliche Annahmen lösbar. Nach dem Klett-Verfahren lässt sich, unter Verwendung einer festen Beziehung zwischen ${\alpha _{Mie}}$ und ${\beta _{Mie}}$, die Lidar-Gleichung umwandeln, so dass sie invertiert werden kann. Dadurch ist die Bestimmung des Rückstreuverhältnisses r aus dem Lidarsignal möglich. Wenn die Beziehung, ${\alpha _{Mie}}$ , ${\alpha _{Mie}}$ und das Rückstreuverhältnis in einer Höhe z0 bekannt sind, lässt sich das Problem lösen, wenn man eine Funktion einführt, in der alle bekannten Größen enthalten sind (Mielke et al., 1992). Das Rückstreuverhältnis in einer Höhe z0 ist r0 = 1, wenn kein Aerosol vorhanden ist, also nur Rayleigh-Streuung an Luftmolekülen erfolgt. Das ist oberhalb der stratosphärischen Hintergrundaerosolschicht der Fall, also oberhalb von etwa 25 bis 30 km Höhe. Dort sind die stratosphärischen Temperaturen so hoch, dass die gesamte Schwefelsäure in der Gasphase vorliegt. Wählt man also als Fithöhe z0 etwa 30 km, ist dort r0 = 1 bekannt und führt so zur Lösung. Mit dem hier beschriebenen Prinzip des Rückstreu-Lidar kann man das Rückstreuverhältnis und die Extinktion von Aerosolen bestimmen.

--Mobby

DIAL - Gleichung

Die DIAL – Gleichung erhält man durch Division zweier LIDAR – Gleichungen. Da das DIAL Lidar statt einer, zwei Laserwellenlängen aussendet, sollte eine gute Justierung vorgenommen werden. Liegen die Wellenlängen so nah aneinander, sind die restlichen atmosphärischen Koeffizienten und Parameter für die beiden Wellenlängen beinahe gleich.

$N_{\text{gas}}(r)={\frac {1}{2\cdot \vartriangle \cdot \sigma _{\text{gas}}}}\cdot {\frac {d}{dr}}\cdot [\ln {{\frac {P(r,\lambda _{\text{off}})}{P(r,\lambda _{\text{on}})}}]}$

mit ${\vartriangle \sigma _{\text{gas}}}={\sigma _{\text{gas}}(\lambda _{\text{on}})}-{\sigma _{\text{gas}}(\lambda _{\text{off}})}$

$N_{\text{gas}}(r)$...Konzentrationsprofil $\sigma _{\text{gas}}$...Absorptionsbande

--Mobby