Projekt:Mathematik in Natur und Technik/Kepler'sche Gesetze

Johannes Kepler und seine Einflussgeber

Ptolemäus

Ptolemäus war im Altertum der Entdecker der Planeten Sonne, Mond, Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn und Begründer des damals anerkannten geozentrischen Weltbildes. Für ihn stand die Erde im Mittelpunkt der Welt, da für den Beobachter die Sonne über den Himmel wandert. Seinem Weltbild zufolge bewegen sich die Planeten auf sieben Kristallkugeln in Kreisbahnen um die Erde. Das Weltall ist von einer achten Kristallkugel umschlossen, welche die Fixsterne trägt.

Er erweiterte seine Modell durch die Epizykeltheorie und versuchte somit ungleichmäßige Planetenbewegungen (z.B. die des Mars) zu erklären. Ein Planet durchläuft einen Kreis (Epizykel), dessen Mittelpunkt sich auf einer großen Kreisbahn um die Erde bewegt.

Um dieses Modell zu beschreiben, benötigte Ptolemäus 80 Kreise. Das geozentrische Weltbild war bis ins 15. Jahrhundert unanfechtbar und wurde von der Kirche verteidigt.

Kopernikus

Kopernikus war Begründer des heliozentrischen Weltbildes, indem sich die Planeten auf Kreisen um die Sonne bewegen. Die Erde dreht sich täglich einemal um ihre Achse und bewegt sich einmal im Jahr um die Sonne. Der Standort des Beobachters wechselt hierbei, im Gegensatz zum geozentrischen Weltbild, von der Erde zur Sonne.

Durch seine Annahmen stellte sich Kopernikus gegen Ptolemäus unanfechtbare Theorie. Kopernikus Theorie war jedoch die einfachere von beiden um Planetenbewegungen zu beschreiben und den Kalender vorauszuberechnen.

Um das heliozentrische Modell zu beschreiben, benötigte er nur noch 34 Kreise.

Tycho Brahe

Tycho Brahe war im 16. Jahrhundert Hofmathematiker von Kaiser Rudolf II. in Prag. Er benutzte damals neue Beobachtungsmethoden ohne Fernrohr und maß bestimmte Planeten- und Sternorte mit bis zu einer Bogenminute Genauigkeit (1 Bogenminute sind 1/60 von 1°).

Für die Auswertung seiner Daten benötigte T. Brahe jedoch einen fähigen Assistenten und engagierte Johannes Kepler, um dessen Gedankenreichtum für die Durchsetzung seines tychonischen Systems zu nutzen.

Johannes Kepler

Johannes Kepler war bekannt als Theologe, Mathematiker, Astronom, Astrologe und Optiker und lebte geprägt von einer tiefen Glaubensüberzeugung. Die Welt stellte für ihn einen Spiegel der göttlichen Idee dar.

Er ging davon aus, dass die Natur einfach strukturierten Gesetzen unterliegt (z.B. das Weg-Zeit-Gesetz). Durch seine Erkenntnisse wurde das Planetensystem zum ersten Mal physikalisch beschrieben. Dies geschah durch die Auswertung von Tycho Brahes Beobachtungsmaterial, welches er nach T. Brahes Tod erhielt und in jahrelanger Arbeit auswertete. Kopernikus Annahme, die Sonne stehe im Mittelpunkt der Welt, trug ebenfalls zu Keplers Erfolgen bei. Er konnte nun scheinbare Schleifenbewegungen der Planeten und Ungleichheiten der Umlaufzeiten erklären.

Mit seinen Erkenntnissen stieß er jedoch bei der Kirche und seinen protestantischen Vorgesetzten auf Widerstand. Dennoch schrieb er seine ersten zwei Gesetze in seinem Werk "Astronomia Nova" und sein drittes Gesetz in seinem Werk "Harmonices Mundi" nieder.

Planetenbewegung

Ellipsensatz (1. Kepler'sches Gesetz)

Ellipsensatz

Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem (gemeinsamen) Brennpunkt die Sonne steht.

Die Ellipsen werden auch Keplerbahnen genannt. Streng genommen bewegen sich Sonne und Planet um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Dieser Schwerpunkt liegt jedoch im Inneren der Sonnenmasse, da die Masse der Sonne viel größer als jede Planetenmasse im Sonnensystem ist.

Das 1. Kepler'sche Gesetz ergibt sich aus der dem Gravitationsgesetz von Newton. Wenn die Masse der Sonne wesentlich größer als die Masse des Planeten ist, kann die Wechselwirkung vernachlässigt werden.

Aufgabe 1

Wie schnell bewegt sich die Erde um die Sonne, wenn man davon ausgeht, dass die Erde sich auf einer Kreisbahn bewegt?

Masse der Erde: $5,97\cdot 10^{24}kg$

Masse der Sonne: $1,99\cdot 10^{30}kg$

Abstand von Sonne zu Erde: 150.000.000 km

Flächensatz (2. Kepler'sches Gesetz)

Flächensatz

Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleichen Flächen.

$konstant={\frac {dA}{dt}}\sim {\overrightarrow {L}}$

Für genügend kleine Zeitintervalle können wir Ellipsenbogenelemente durch Geraden annähren, so dass ein Dreieck entsteht.

Physikalisch gesehen, ist das 2. Kepler'sche Gesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz. Ein Beispiel für den Drehimpuls wäre die Pirouette. Zieht der Eisläufer die Arme näher an den Körper ändert sich der Trägheitsmoment und die Drehgeschwindigkeit erhöht sich.

Aufgabe 2

Zeige, dass der Kepler'sche Flächensatz die Drehimpulserhaltung am Himmel ist.

Kepler's 3. Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen.

${\frac {r^{3}}{T^{2}}}=konstant$

Das 3. Kepler'sche Gesetz ermöglicht die direkte Bestimmung der Masse der Sonne und der Sternmassen in Doppelstersystemen (zwei Sterne, die gravitativ aneinander gebunden sind und sich periodisch um ihren Schwerpunkt drehen).

Zusammenhang mit Newton's Apfel

Newton wandte als Erster die Gesetze der Mechanik auf die Bewegung der Himmelskörper an und hatte so gezeigt, dass im Sonnensystem wie auf der Erde die selben Gesetze gelten.

Als Kepler's 3. Gesetz formuliert wurde, war Newton noch nicht geboren. Newton's Gravitationsgesetz wurde erst 50 Jahre später formuliert. Er fand heraus, dass die Kraft, die den Apfel vom Baum fallen lässt, die gleiche ist, die den Mond um die Erde und die Erde um die Sonne zwingt. Die Radialbeschleunigung des Mondes und die Fallbeschleunigung des Apfels haben also den gleichen Ursprung. Dies war eine wichtige Erkenntnis für den Verlauf und die Bewegung der Planeten. Es konnten viele damals ungewöhnliche Erscheinungen erklärt werden (z.B. Ebbe und Flut).

Aufgabe 3

Angenommen es besteht eine Kreisbahn, so lässt sich das 3. Kepler'sche Gesetz aus Newton's Gravitationsgesetz herleiten.

Die drei Gesetze im Überblick

1. Kepler'sches Gesetz

   Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem (gemeinsamen) Brennpunkt die Sonne steht.

2. Kepler'sches Gesetz

   Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Kepler'sches Gesetz

   Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen.

Das Zweikörperproblem

Ein Problem wird hier eher als Aufgabe aufgefasst. Die Aufgabe bei dem Zweikörperproblem beinhaltet die genaue Berechnung der Bahnbewegungen eines einzelnen Körpers um ein Schwerezentrum, wenn sich nur diese zwei Körper gegenseitig gravitativ beeinflussen. Der Großteil der Lösung dieser Aufgabe geht auf Kepler zurück. Zur kompletten Lösung trugen Newton, Laplace und Gauss noch ihren Teil bei. Kepler berechnete die Positionen der Planeten durch seine drei Gesetze und 6 Bahnelemente. Bahnelemente beschreiben die Bahn der Planeten oder auch Kometen um die Sonne.

Beim Zweikörperproblem dürfen keine weiteren Körper wirksam sein, da ein dritter Körper Bahnstörungen bewirken kann, welche die Keplerbahnen verzerren. Im Sonnensystem sind die Bahnstörungen zwischen Jupiter und Saturn besonders groß. Trotz dieser Störungen kommt es zu keinen größeren Abweichungen zwischen den Planeten. Newtons Meinung nach, war der Grund hierfür in der Theologie zu finden: "Gott müsse von Zeit zu Zeit im Sonnensystem die Ordnung wiederherstellen.". Theologische Argumente hatten damals eine sehr große Bedeutung bei der Begründung der Naturwissenschaften.

Newtons Berechnungen zum Zweikörperproblem ergaben, dass die Bahnen, die ein Körper unter der Einwirkung der Gravitation durchläuft, ein Kegelschnitt sein musste. Die verschiedenen Bahnbewegungen sind durch die numerische Exzentrizität (e) charakterisiert. Dies ist eine reelle Zahl, die die Abweichung von einem Kreis beschreibt.

e = 0 Kreis

0 < e < 1 Ellipse (gebundene Bahn: bleibt in dem Feld)

e > 1 Hyperbel und e = 1 Parabel (offene Bahn: durchläuft das Feld; es findet nur eine Begegnung statt)

Welche der Bahnen durchlaufen wird hängt von der Startgeschwindigkeit, der Startposition und den Massen beider Körper ab.

Aufgabe 4

Welche verschiedenen Bahnbewegungen kann man mithilfe eines Kegelschnittes beschreiben?

Exkurs: Kepler's Sphärenmusik

Pythagoras Idee

Die Idee, dass die Harmonie im Kosmos von Zahlen und musikalischen Harmonien bestimmt ist, kam in der Antike durch Phytagoras auf. Er glaubte, dass bei der Bewegung von Planeten Töne entstehen. Der Ausgangspunkt dieser Idee lag auf der Erde, da hier die schnelle Bewegung großer Körper Geräusche erzeugte.

Er versuchte mithilfe eines Monochords eine Beziehung zwischen den Planeten und den harmonischen Klängen der gespannten Saite zu finden. Er teilte die Saite des Monochords mit einem Holzstäbchen und wollte hierbei durch das Verhältnis der Abstände der Planeten und der musikalischen Harmonien eine mathematische Proportion ausdrücken.

Kepler's Erkenntnisse

Was damals schon bei Pythagoras ein Mhytos war, wollten jedoch weiterhin viele Denker naturwissenschaftlich deuten, so auch Kepler. Für ihn waren in den Verhältnissen der Planetenbewegungen Tonreich, Tonart, Tonstufe, sowie die Tongeschlechter Dur und Moll erkennbar. Die harmonikalen Strukturen wurden durch Kepler zum ersten Mal wissenschaftlich beschrieben.

Anders als Pythagoras wollte Kepler die Idee auf das heliozentrische Weltbild übertragen. Er verwendete das Notensystem um zu beweisen, dass die 6 Planeten zusammen eine Harmonie ergaben, wenn man ihre Verhältnisse in das Notensystem überträge. Er versuchte Harmonien auf verschiedenen Wegen zu finden. Zum Beispiel über die Verhältnisse der Umlaufzeiten, der Geschwindigkeiten und der Abstände der Planeten. Er wollte die Sphärenharmonie über die Planetenbewegung neu formulieren. Keplers Anliegen war hierbei, dass die Gesetze der Astronomie mit denen der Musik übereinstimmen.

"Die Planeten machten eine Art Musik, Harmonien die wir nur mit der Seele wahrnehmen können." (Kepler)

In fast allen Fällen ergaben die Verhältnisse der kleinsten und größten Winkelgeschwindigkeiten vollkommene Harmonien. Es gab die große Winkelgeschwindigkeit im Perihel (sonnennah) und die kleine Winkelgeschwindigkeit im Aphel (sonnenfern).

Heute

Verschiedene Forscher haben weitere Versuche durchgeführt um über die Verhältnisse der Frequenzen oder Logarithmen der mittleren Sonnenabstände Harmonien zu finden. Mittels der Wahrscheinlichkeitsrechnung ließ sich heute nun eine Aussage über den Wahrheitsgehalt dieser Erkenntnisse treffen. Dabei fand man heraus, dass mit 99,9% in der Geschwindigkeit der Planeten Entsprechungen zu musikalischen Harmonien zu finden sind.

Lösung

zu Aufgabe 1

$\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}\quad (F_{\text{g}}=F_{\text{z}})$

$\gamma {\frac {M}{r}}=v^{2}$

$v^{2}=6,67428\cdot {}10^{-20}km^{3}/kg\cdot s^{2}\cdot {\frac {1,99\cdot 10^{30}kg}{150\cdot 10^{6}km}}$

$v={\sqrt {\frac {6,67428\cdot {}10^{-20}km^{3}\cdot 1,99\cdot 10^{30}kg}{150\cdot 10^{6}km\cdot kg\cdot s^{2}}}}$

$v=29,7566{\frac {km}{s}}$

$29,7566{\frac {km}{s}}\cdot {}60^{2}=107.124{\frac {km}{h}}$

Die Bahngeschwindigkeit der Erde beträgt somit 107.124 km/h. Im Vergleich zum Mars, dessen Bahngeschwindigkeit 86.868 km/h ist, verläuft die Erde schneller auf ihrer Bahn. Dies zeigt, dass Planeten die näher bei der Sonne sind sich schneller auf deren Bahn bewegen, als Planeten die weiter entfernt von der Sonne sind.

zu Aufgabe 2

Flächensatz

$dA={\frac {1}{2}}r\cdot \sin \alpha \cdot v\cdot dt$

${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r\cdot \sin \alpha \cdot v$

Das 2. Gesetz sagt aus, dass in gleicher Zeit gleiche Flächen überstrichen werden.

${\overrightarrow {L}}={\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {p}}\quad ({\overrightarrow {p}}=m\cdot {\overrightarrow {v}})$

${\overrightarrow {L}}=m\cdot {\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {v}}\quad ({\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {v}}=v\cdot \sin \alpha \cdot r)$

${\overrightarrow {L}}=m\cdot \sin \alpha \cdot {\overrightarrow {r}}\cdot {\overrightarrow {v}}$

$konstant={\frac {dA}{dt}}\sim {\overrightarrow {L}}$

Die Flächengeschwindigkeit ist konstant, wenn der Drehimpuls konstant ist. Mit dem 2. Kepler'schen Gesetz wurde somit der Drehimpuls am Himmel entdeckt.

zu Aufgabe 3

$\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}\quad (F_{\text{g}}=F_{\text{z}})$

$\gamma {\frac {M}{r^{2}}}={\frac {v^{2}}{r}}\quad \left(v^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}}}\right)$

$\gamma {\frac {M}{r^{2}}}={\frac {4\pi ^{2}r^{2}}{rT^{2}}}\quad /\cdot r^{2}$

$\gamma M={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}}\quad /\div 4\pi ^{2}$

${\frac {\gamma M}{4\pi ^{2}}}={\frac {r^{3}}{T^{2}}}=konstant$

Es wurde gezeigt, dass sich das 3. Kepler'sche Gesetz aus Newton's Gravitationsgesetz herleiten lässt. Man nennt diese Konstante auch die Konstante C.

zu Aufgabe 4

Literatur

• J. Kepler (Verf.), O. Bryk (Hrsg.): Die Zusammenklänge der Welten., Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1915.
• R. Sexel, Einführung in die Physik Band 1 - Mechanik u. Wärmelehre, Bildung Sauerländer, Aarau 1996, 3. Auflage.
• W. Demtröder, Mechanik und Wärme, Springer, Berlin u. Heidelberg 2004, 3. Auflage.
• C. Gerthsen, Gerthsen Physik, Springer, Berlin u. Heidelberg 2002, 21. Auflage.
• J. Grehn, Metzler Physik, Schroedel Verlag GmbH, Hannover 1998, 3. Auflage.
• H. Warm, Die Signatur der Sphären - Von der Ordnung im Sonnensystem. Keplerstern Verlag, 2004, 2. Auflage.