Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Klassen-Kategorie

In der Klassen-Kategorie zu einer Theorie-Kategorie werden (über Unterkategorien) die konkreten Objekte der Theorie eingeordnet.

Eine mathematische Theorie besitzt in der Regel einen (manchmal mehrere) Hauptuntersuchungsgegenstand, die die Klasse ihrer Objekte bilden. Für die Topologie sind das die topologischen Räume (und die stetigen Abbildungen), für die kommutative Algebra sind das die kommutativen Ringe und ihre Moduln, für die Analysis sind das differenzierbare Funktionen, Folgen, etc. Das sind die Objekte, die man mit Hilfe der in der Theorie entwickelten Konzepte und Methoden verstehen möchte. Ein solches Objekt ist letztlich konkret gegeben und detailiert bestimmt (häufig als eine fixierte Menge mit zusätzlichen fixierten Strukturen), so dass die definierten Begriffe der Theorie darauf zutreffen oder nicht.

In einer Klassen-Kategorie stehen demnach:

Unterklassen-Kategorien. Diese sind selbst Klassen-Kategorien, die eine engere Klasse von Objekten umfassen. Klassen-Kategorien und ihre Unterkategorien werden durch Eigenschaft beschrieben, etwa: Klasse der topologischen Räume - Klasse der kompakten Räume - Klasse der kompakten Mannigfaltigkeiten oder Klasse der normalen Integritätsbereiche - Klasse der faktoriellen Integritätsbereiche - Klasse der Hauptidealbereiche. Hierbei ist grundsätzlich auch die Verwendung von negierten Eigenschaften und von konjugierten Eigenschaften sinnvoll (was bei Theorien eher eine Ausnahme ist). Man interessiert sich ja oft dafür, ob es Beispiele für Objekte gibt, die zwar diese und jene Eigenschaft haben, nicht aber eine dritte Eigenschaft (wie etwa normale eindimensionale Ringe, die keine Hauptidealbereiche sind). Grundsätzlich kann man sagen, dass jede mathematische Eigenschaft, die irgendwo einem mathematischen Objekt zugeordnet wird, Anlass zu einer Klassenkategorie gibt.

In hinreichend feinen Klassen-Kategorien stehen die Objekt-Kategorien. Diese entsprechen einem konkreten mathematischen Objekt, etwa der zwei-dimensionalen Sphäre oder $\mathbb {F} _{5}[X]$

Klassen-Kategorie werden in übergeordnete Klassen-Kategorien als [[Kategorie: Oberklasse-Kategoriename|Stichwort]] alphabetisch eingeordnet, und in entsprechende Theorie-Kategorien durch [[Kategorie: Theorie-Kategoriename|!]] , so dass sie immer an derselben Stelle in der Theorie-Kategorie stehen. Letzteres wird auch durch {{Klassen-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}} erreicht, was zusätzlich typisiert.