Projekt Diskussion:Mathematik ist überall/Zahlen

Wer soll das verstehen?

Trotz naturwissenschaftlichem Studium (Medizin) und Interesse an den Grundlagen der Mathematik kann ich mit dem Artikel gar nichts anfangen, ich verstehe die Gedankengänge nur bruchstückweise und bekomme keinen Sinn hinein. Die Rechenkunst begann vor circa 30 000 Jahren, und sicher waren nicht so komplizierte Gedanken zu ihrem Beginn nötig.

Ich betrachte Mathematik als eine spezielle, der kürzesten Darstellung verpflichtete Sprachform. Zahlen (z.B. 1,2,3...) sind extrem kurze Symbole für Zahlwörter ( eins, zwei, drei...), welche zur exakten Bestimmung von Größen bzw. Mengen dienen.

Die zu einfachen Figuren verkürzte Schreibweise der Zahlwörter dient besonders bei großen Mengen der Übersichtlichkeit; zum Beispiel wird das Zahlwort "eintausendsiebenhundertachtundzwanzig" übersichtlich mit der Kurzform 1728 geschrieben, womit sechsunddreißig Buchstaben ohne Verlust der Information auf vier Zeichen komprimiert werden.

Wie alle Wörter existieren auch die Zahlwörter nur in menschlichen Köpfen. Im Unterschied zu den meisten Wörtern existieren die Zahlwörter dort (im Gedächtnis) jedoch in einer genau festgelegten Reihenfolge, die aus der fortlaufenden Addition von 1 (z.B. beim "abzählen") entsteht. Diese exakt vorgeschriebene Merkfolge muß in den ersten Schuljahren durch ständige Wiederholung gelernt und erweitert werden, bevor sie als feststehendes Zahlensystem für beliebige Berechnungen benutzt werden kann. Nur durch ihre vorgegebene, feststehende Reihenfolge sind die Zahlen bzw. Zahlwörter zum Rechnen brauchbar. --Elser 11:58, 10. Feb. 2008 (CET)

Wir freuen uns über jeden Kommentar. Von Dir kamen gleich mehrere, weshalb die Entgegnungen zunächst der Reihe nach erfolgen.

1. Rechnen oder Kalkulieren ist nicht Gegenstand dieses Abschnitts, sondern wird hier angesprochen.
2. „Zahlwörter“ sind nicht dieses Abschnitts, sondern die mathematischen Gesetzmäßigkeiten zur Bildung von Zahlen.
3. Das „Zählen“ als Synonym der Peano-Axiome wird in diesem Abschnitt ausdrücklich vermieden, denn es werden gebrochene Basen betrachtet.

Unter keinen Umständen sind hier Zahlen als „Merkfolgen“ zu verstehen. Es ist nur die mathematische Verkörperung von Werten durch Mengen von Zeichen (Ziffern) angesprochen. Die erforderliche Mathematik ist so auf ein Minimum reduziert und kann über die naive Mengenlehre erschlossen werden.

Dieser Abschnitt ist Bestandteil eines Projekts im FB-Mathematik. Wer also hier liest, hat die „ersten Schritte“ hinter sich. Ein didaktisches Konzept zur Vermittlung des Rechnens ist hier nicht vorhanden. Es ist gedacht die Mathematik zu verwenden um Zahlen in einem neuen Licht zu erkennen und nicht nur als „Hilfsmittel“ zum Rechnen.

Hoffentlich haben diese Worte etwas zum Verständnis und der Motivation des Abschnitts beigetragen. Sollten immer noch Fragen vorhanden sein, einfach wieder hier reinstellen.

Gruß --Heuerli 13:51, 10. Feb. 2008 (CET)

Danke für die überwiegend (für mich Dummkopf) verständliche Antwort. Wenn ihr "interdisziplinär" an die Mathematik herangehen wollt, "um Zahlen in einem neuen Licht zu erkennen und nicht nur als „Hilfsmittel“ zum Rechnen", dann sollten sprachtheoretische Überlegungen aber auch als Grundlagen dieser "Geheimsprache" ernst genommen werden. Zahlen sind schließlich auch Produkte der menschlichen Gehirntätigkeit und können sogar unter diesem Aspekt untersucht werden. Der Mathematiker Luitzen Brouwer ging vor hundert Jahren schon ähnlichen Fragen nach. Mir erscheint die ganze Mathematik vor allem unter dem Gesichtspunkt der "Kürzung auf ein überschaubares Maß" von Bedeutung. Sie überwindet damit die Beschränkung des menschlichen Bewußtseins, das nur circa 10 Bit pro Sekunde verarbeiten kann. Eine mathematische Darstellung ist eine extrem komprimierte Darstellung, kürzer gehts nicht, z.B.E=mc². Wo und wie werden diese Aspekte wissenschaftlich behandelt? --Elser 15:32, 10. Feb. 2008 (CET)

Mit Deinem Wissen (habe ich aus deiner Benutzerseite) über Neurophysiologie sollte es Dir eigentlich ein Leichtes sein, das „Ersatzschaltbild“ zum Aktionspotential nach Hodgin und Huxley nachzuvollziehen. Im Buch „Simulation Neuronaler Netze“ von Andreas Zell (Addison-Wesley, ISBN 3-89319-554-8) findest Du eine kurze Beschreibung. Damit ist auch die Zahlenbasis e und der Zusammenhang mit $\pi \$ nicht so schwierig.

Eine hervorragende Einführung in die „Mathematik als Sprache“ findest Du in dem Buch „Die Architektur der Mathematik“von Pierre Basieux (Rowohlt, ISBN 3-499-61119-8). --Heuerli 16:10, 10. Feb. 2008 (CET)

Danke für die Anregungen, vielleicht komme ich mal dazu. Hier kannst Du meine Gedanken zur Mathematik ausführlicher lesen: http://de.wikibooks.org/wiki/Gehirn_und_Sprache:_Optimale_Komprimierung

Dazu fällt mir ein: In eurem Projekt ist auch ein Apfelmännchen mit dem Untertitel "Ordnung im Chaos", aber ohne Text. Was haltet ihr davon, einen Beitrag "Zahlenordnungen in der Mandelbrotmenge" dort hineinzusetzen, wie er in meinem Wikibook schon angerissen ist?--Elser 17:31, 10. Feb. 2008 (CET)

Danke für Dein Angebot Elser. Es handelt sich übrigens nicht um „Ordnungen“, sondern um mögliche Platzierungen von Elementen aus $\mathbb {N} \$ in der komplexen Zahlenebene. Sie ergeben sich übrigens auch aus der hier erwähnten Eulerschen Identität und sind damit bereits im Projekt vorhanden, wenn auch nur sehr knapp.

Es fällt natürlich schwer, sich darüber hinaus auf einen Beitrag zu beziehen, von dem sich der Autor in seinen anderen Diskussionen distanziert (siehe hier unter dem Begriff „Objektivität“). Die neue(?) Sichtweise des Autors müsste in dem WB-Artikel irgendwie deutlich werden, denn sonst wären die Diskussionen in unserem Projekt zumindest unglaubwürdig. Weil das Projekt zunächst „Breite“ haben soll, trotzdem aber so fundiert wie möglich verfasst sein muss, wäre es schön weitere Mitarbeiter zu begeistern. Wenn Du die in Deinem Beitrag angerissenen Gundrechenarten erläutern und in nachvollziehbarer Weise demonstrieren könntest, immer her damit.

Gruß --Heuerli 10:30, 11. Feb. 2008 (CET)

Bei der von Euch beschriebenen Eulerschen Identität kann ich schon ahnen, was mit der Formel als identisch beschrieben werden kann, aber der log.nat. ist für mich geheimnisvoll und der Beweis überfordert mein Verständnis. Was die Schönheit anbelangt, bleibt die mir leider auch verborgen, aber dafür habe ich sowieso einen anderen Spitzenkandidaten, dessen Schönheit ich sehen kann: Z(n+1)=Z²+c Gruß,--Elser 17:59, 11. Feb. 2008 (CET)

Moin Elser, mathematische Schönheit liegt in der Eleganz der Aussage. Du siehst,auch hier ist das Bemühen vorhanden, Subjektivität zu vermeiden. Die Schönheit besteht in der Tatsache, dass die beiden wichtigen transzendenten Zahlen $e\,,\pi \$, die imaginäre Einheit i und die beiden natürlichen Zahlen 0 und 1 in einer Formel zusamengefasst sind. Ich frage mich allerdings wo Du den Logarithms naturalis in der Gleichung ausgemacht hast. Gruß --Heuerli 10:09, 12. Feb. 2008 (CET)

Hallo Heuerli, Pardon, mein Abi mit 4 in Mathe ist 42 Jahre her, und da kann schon manches in Ünordnung geraten sein, z. B. habe ich den Buchstaben e als Basis des log.nat. in Erinnerung, kann mich aber irren, weil ich seit 42 Jahren damit nichts mehr zu tun habe. Mit der imaginären Einheit bin ich durch die Mandelbrotmenge besser vertraut, aber Gauß hat Recht, aus mir wird nie ein guter Rechenkünstler. Das mindert aber nicht mein Interesse an Mathematik, weil ich die "Conditio humana" auch in dieser einmaligen Fähigkeit besser verstehen will, Mathematik als menschlich-organische Tätigkeit. Was mir an Eulers Formel gefällt, ist ihre Kürze, und e ist auf jeden Fall ein sehr kleines und simples Zeichen für einen sehr großen und komplizierten Inhalt. Leider habe ich niemand in meinem Freundeskreis, der meine mathematisches Niveau etwas anheben kann. Ich bin deshalb dankbar für Aufklärung und bitte um Nachsicht, wenn ich Fehler mache.--Elser 11:37, 12. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, was Du über e weißt ist doch weit mehr als man von sog. aufgeklärten Zeitgenossen vernehmen muss. Der „Fehler“ lag da ja wohl bei mir, denn ich habe gedacht Du wärst in der vorher dargestellten „Optimalen Zahlenbasis“ gelandet. Habe also keine Hemmungen weiter zu fragen. Eine Überschrift wäre allerdings hilfreich um ein wenig Übersicht zu behalten. So können auch Andere folgen. Vielleicht ergeben sich daraus ja neue Abschnitte im Projekt.

Was gewiss nicht reinkommt sind Analogien der Mathematik zu Philosophien über das menschliche Denken. Damit wäre ein variabler Selbstbezug vorhanden und wir hätten die Karte mit folgenden Aufschriften:

• Vorderseite: „Der Satz auf der anderen Seite ist falsch“.
• Rückseite: „Der Satz auf der anderen Seite ist richtig“.

Eine derartige Situation gilt es zu verhindern. Gruß --Heuerli 19:27, 12. Feb. 2008 (CET)

Moin Heuerli,

variable Selbstbezüglichkeit und das Lügner-Paradox stoßen mich nicht ab, im Gegenteil, als Fraktale-Fan und „Sprachtheoretiker“ bin ich an diesen Spezialitäten besonders interessiert.

Das Lügner-Paradox oder Deine verpönte Karte erscheinen mir insofern mit hinterhältigem Sinn, als sie auf kluge Weise demonstrieren, daß wir mit Sprache auch spielerisch und verwirrend umgehen können, daß nicht immer Logik im Spiel ist, sondern auch Witz oder Poesie oder Demagogie oder Märchen oder Unsinn oder Religion usw. damit hergestellt werden können. Nichts für Mathematiker, ich weiß.

Bei meiner einseitigen Begabung wäre als Überschrift für weitere Zusammenarbeit am Projekt „Apfelmännchen“ wohl nur das Thema „Die Verästelungen der Mandelbrotmenge (MM) systematisch betrachtet“ sinnvoll, diesen Komplex müßte ich ja erst einmal mit Euch diskutieren, bevor es an die Arbeit gehen könnte.

Ohne Visualisierung ist die MM nicht überzeugend zu beschreiben, und ich denke in diesem Zusammenhang sogar an ein Video, das ideal die Ordnung in der Figur erfahrbar machen kann. Das Programm „Xaos“ und eine Videokamera habe ich und kann am PC schneiden und vertonen, es wäre für mich ein reizvolles Projekt, wenn Mitstreiter meine Irrtümer korrigieren und meine laienhafte Ausdrucksweise im Niveau anheben.

Sehr mühevoll bei dieser Untersuchung ist das Zählen der Verästelungen. Deshalb mußte ich mich bisher auf kleine Verästelungszahlen beschränken, aber die Systematik ist sichtbar so angelegt, daß sie sich auch in höhere Zahlenbereiche erstrecken muß. Gruß --Elser 23:48, 12. Feb. 2008 (CET)

Doppelmoin Elser, Deine audiovisuelle Idee ist generell nicht schlecht. Die Universität Bremen ist wohl gegenwärtig führend bei chaotischen Problemen. Wenn Du deren Modelle aus dem Buch „Chaos and Fractals“ von Peitgen, Jürgens, Saupe, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20229-3 hier näher beschreiben könntest wäre das weitaus besser. Interessant sind dabei natürlich die MRCM (Multiple Reduction Copy Machine) und das IFS (Iterated Function System). So können die Betrachtungen interaktiv werden. Eine weitere Quelle, allerdings nicht so tief wie die aus Bremen, ist hier. Ich glaube, dass damit auch Dir geholfen ist, weil Du ja nach Antworten der Mathematik auf Probleme (in) der realen Umwelt suchst. Gruß --Heuerli 11:03, 13. Feb. 2008 (CET)

Paradoxon

Das "Lügner-Paradox" ist doch kein Problem. Nehmen wird das kürzere Beispiel "Dieser Satz ist falsch.". Beachten wir die Eigenschaften:

• Syntax ist richtig.
• Grammatik ist richtig.
• Die logische Aussage ist unvollständig'.

Der Satz definiert nicht was falsch sein soll. Schreiben wir den Satz also um:

• Der Satz "Dieser Satz ist [syntaktisch|grammatisch] falsch." ist logisch falsch (zumindest solange man es richtig schreibt).
• Der Satz "Die logische Aussage dieses Satzes ist falsch." ist ungültig, da er keine logische Aussage hat.

MovGP0 20:56, 16. Feb. 2008 (CET)

Moin MovGP0, es ging nicht um das Paradoxon an sich. Es ging um die Vermeidung von Selbstbezügen. Ob Elser sie nun variabel im Neocortex ansiedelt oder nicht; in diesem Projekt (und schon gar nicht in diesem Abschnitt) sollten derartige philosophische Spielereien nicht besprochen werden. Es kann natürlich sein, dass Mitmacher anderer Meinung sind, das sollte dann aber an entsprechender Stelle (Gliederung) diskutiert und ggf. in einem Beitrag vorgestellt werden. --Heuerli 13:51, 29. Feb. 2008 (CET)