Projektion weg von Punkt/Ebene/Generischer Grad/Aufgabe/Lösung


Wir betrachten eine Gerade durch den Punkt und das zugehörige affine Komplement

Ohne Einschränkung sei und . Somit können wir annehmen, dass es um eine affine Projektion

geht, und eine affine Kurve vom Grad vorliegt, wobei die Potenz in vorkommt, da andernfalls wäre. Wir betrachten das Polynom als

Hierbei sind , ist konstant. Da die Kurve irreduzibel ist, ist bei (bei versteht sich die Gesamtaussage von selbst). Wir müssen zeigen, dass für alle bis auf endlich viele Ausnahmen die Polynome

verschiedene Nullstellen haben. Da ein irreduzibles Polynom ist und wir in Charakteristik sind, ist separabel und somit sind und teilerfremd, wobei die formale Ableitung nach bezeichnet. Es gibt also Elemente mit

Das bedeutet, dass es Polynome gibt, die

mit erfüllen. Das Polynom hat nur endlich viele Nullstellen. Für mit ist

was bedeutet, dass und

teilerfremd in sind. Also haben und die Ableitung keine gemeinsame Nullstelle und daher ist keine Nullstelle von mehrfach.