Projektive Ebene/Syz vierte Potenzen/Torsor/Einschränkung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper von positiver Charakteristik, ${}R=K[X,Y,Z]$, ${}I={\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$. Es ist ${}X^{3}Y^{3}Z^{3}\notin I$. Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-12)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-8)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-4)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\longrightarrow 0$

mit dem mittleren Kern ${}\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$. Der neunte Twist ergibt hinten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

die zeigt, dass ${}\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu ${}X^{3}Y^{3}Z^{3}$ gehörige erste Kohomologieklasse

${}c\in H^{1}({\mathbb {P} }_{K}^{2},\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9))\,$

und den zugehörigen Torsor

$T\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}.$

Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist ${}1$ (er annulliert mit ${}c$ auch die zweite Kohomologieklasse ${}{\frac {1}{XYZ}}\in H^{2}({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3))$, er ist aber auch nicht affin). Die Einschränkung von ${}\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ auf jede Kurve ${}C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve ${}C$ eine projektive Kurve ${}C'$ in ${}T$.