Projektive Gerade/Komplex/Punkt/Invertierbare Garbe/Schnitte/Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$ .

Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$ .
Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von
${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$
Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$ .