Projektive Gerade/O(2)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(R[X,Y]\right)}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ und das (volle) lineare System ${}(X^{2},XY,Y^{2})\subseteq \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)\right)}$ ist der zugehörige Morphismus ausgeschrieben gleich

${\mathbb {P} }_{R}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2},xy,y^{2}).$

Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten ${}(x,y)$ wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten ${}(x^{2},xy,y^{2})=(u,v,w)$ zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung ${}uw=v^{2}$, d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve

${}V_{+}(uw-v^{2})\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{2}\,.$

In der Tat liegt eine Isomorphie ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}\cong V_{+}(uw-v^{2})$ vor.