Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt

Die absolute Höhe besitzt auf

${}{\overline {\mathbb {Q} }}={\mathbb {A} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\,$

(es wird also ${}x\in {\overline {\mathbb {Q} }}$ als ${}(x,1)\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ aufgefasst) folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}H(x^{k})=H(x)^{k}$ für ${}k\in \mathbb {N}$.
2. Es ist ${}H(xy)\leq H(x)H(y)$.
3. Es ist ${}H(x+y)\leq H(x)+H(y)$.
4. Es ist ${}H(x)=H(x^{-1})$ für ${}x\neq 0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen