Projektive Varietät/Einbettung/Invertierbare Garbe/Intrinsische Charakterisierung/Motivation/Bemerkung

Eine projektive Varietät ${}X$ über einem Körper ${}K$ ist nach Definition (realisierbar als) eine abgeschlossene Untervarietät ${}X\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Hierbei konkurrieren zwei Sichtweisen:

Einerseits (und dies nennt man den extrinsischen Standpunkt) erlaubt die Realisierung von ${}X$ als Teilmenge eines projektiven Raumes, Konzepte, Strukturen, Eigenschaften des umgebenden Raumes durch Einschränkung auf ${}X$ zu verwenden, man kann das Schnittverhalten von ${}X$ mit anderen Untervarietäten ${}Y$ untersuchen, man kann nach Beziehungen zum offenen Komplement ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus X$ Ausschau halten. Ferner nimmt jede Visualisierung von ${}X$ Bezug auf einen umgebenden Raum.

Andererseits (und dies nennt man den intrinsischen Standpunkt) kann man sich fragen, welche Eigenschaften von ${}X$ der Varietät selbst inhärent und unabhängig von einer gewissen Realisierung zukommen. Die Varietät ${}X$ ist typischerweise isomorph zu einer „anderen“ Varietät ${}X'$, die als eine abgeschlossene Teilmenge ${}X'\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n'}$ gegeben ist. Welche Eigenschaften von ${}X$ bzw. ${}X'$ sind unabhängig von den jeweiligen Einbettungen?

Die beiden Standpunkte überschneiden sich, wenn man folgende Fragen betrachtet: Wie viele Einbettungen für ein gegebenes ${}X$ gibt es? Kann man sich eine Übersicht über alle möglichen Einbettungen von ${}X$ in einen projektiven Raum verschaffen? Gibt es eine beste Einbettung, wo etwa die Dimension des umgebenden Raumes klein ist oder wo die Beziehung zu ihm besonders übersichtlich ist. Gibt es eine besonders natürliche Einbettung, die mit charakteristischen Objekten auf ${}X$ zusammenhängt?

Betrachten wir beispielsweise die abgeschlossene projektive Kurve ${}C=V{\left(Y^{2}-XZ\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Dies ist eine Kurve vom Grad ${}2$, ihr Durchschnitt mit einer jeden Geraden besteht aus zwei Punkten (gezählt mit Vielfachheiten). Die Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(s^{2},\,st,\,t^{2}\right),$

induziert einen Isomorphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$, d.h. die Kurve ist isomorph zur projektiven Geraden und somit eine „unnötig gekrümmte“ Version der projektiven Geraden. Allerdings sind Kurven vom Grad zwei (Quadriken, Kegelschnitte) natürliche Objekte in der Ebene, und, von der projektiven Geraden aus gesehen, bilden die Elemente ${}s^{2},st,t^{2}$ eine Basis der zweiten homogenen Stufe ${}K[s,t]_{2}$ des homogenen Koordinatenringes ${}K[s,t]$ der projektiven Geraden. Diese treten wiederum als globale Schnitte der invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)$ auf. In der Tat werden wir sehen, dass die verschiedenen Einbettungen von ${}X$ in einen projektiven Raum mit globalen Schnitten auf invertierbaren Garben auf ${}X$ zusammenhängen.