Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt

Satz über die Kotangentialgarbe auf dem projektiven Raum

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann wird der ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}$-Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\,{\stackrel {X_{0},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ eine Funktion ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ auf

${}df=\left({\frac {\partial f}{\partial X_{0}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial X_{n}}}\right)\,$

abbildet, beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen