Proportionalität/Dreisatz/Einführung/Textabschnitt

Unter Dreisatz versteht man Aufgaben, bei denen es sich um Größen handelt, zwischen denen eine Proportionalität vorliegt, wobei man aber oft den Proportionalitätsfaktor noch gar nicht kennt. Es gibt im Wesentlichen die folgenden Aufgabentypen und Mischformen davon.

1. Der Zusammenhang

   ${}y=cx\,$

   ist vorgegeben, d.h. die Zahl ${}c$ ist bekannt und es geht darum, zu einem oder mehreren ${}x$ den zugehörigen Wert von ${}y$ zu bestimmen.

2. Der Zusammenhang

   ${}y=cx\,$

   ist vorgegeben, d.h. die Zahl ${}c$ ist bekannt und es geht darum, zu einem (oder mehreren) Funktionswert ${}y$ den Ausgangswert für ${}x$ zu bestimmen.

3. Es ist zwar klar, dass zwischen ${}x$ und ${}y$ ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Typischerweise ist ein bestimmtes ${}x_{0}$ mit dem zugehörigen Wert ${}y_{0}$ gegeben und es wird das ${}c$ gesucht, das den linearen Zusammenhang beschreibt, also das ${}c$ mit

   ${}y_{0}=cx_{0}\,.$

4. Es ist zwar klar, dass zwischen ${}x$ und ${}y$ ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Es ist ein bestimmtes ${}x_{0}$ mit dem zugehörigen Wert ${}y_{0}$ gegeben und es wird der Wert zu einem weiteren ${}x_{1}$ gesucht (oder der Ausgangswert zu einem weiteren ${}y_{1}$).

Die Formulierung in (4) ist eine Mischung aus (3) mit (1) bzw. mit (2). Allerdings kann man oft auch (4) direkt lösen, ohne den Proportionalitätsfaktor ${}c$ auszurechnen. Die Bezeichnung Dreisatz rührt von der Situation in (4) her, wo die Beziehung

${}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}=c={\frac {y_{1}}{x_{1}}}\,$

betrachtet wird (unabhängig davon, ob man das ${}c$ mit anführt) und wo die drei Zahlen ${}x_{0},y_{0},x_{1}$ (bzw. $x_{0},y_{0},y_{1}$) vorgegeben sind und man die vierte Zahl ${}y_{1}$ (bzw. ${}x_{1}$) bestimmen soll. Wir betrachten einige typische Beispiele.

Beispiel

Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt, er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt.

Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor (nach dem nicht gefragt wurde) ist also ${}12$. Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für ${}12$ Kilometer ${}60$ Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also ${}60/12=5$ Minuten.