Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/Lotfußpunkt/1/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}$ ein Punkt der Geraden, die durch

${\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

parametrisiert wird. Auf dieser Geraden steht der Vektor ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}$ senkrecht, daher lautet der Ansatz

${}{\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,$

bzw.

${}{\begin{pmatrix}-7\\-10\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

Dies führt auf

${}58t=49\,$

und somit ist

${}t={\frac {49}{58}}\,$

und

${}s=-{\frac {79}{58}}\,.$

Der Lotfußpunkt ist also

${}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}-{\frac {79}{58}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {143}{58}}\\-{\frac {5}{58}}\end{pmatrix}}\,$

und der Abstand ist

${}\Vert {{\frac {49}{58}}{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}}\Vert ={\frac {49}{58}}{\sqrt {58}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe