Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Keim/0 kein Häufungspunkt der Nullstellen/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei

$f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion und sei ${}[f]$ der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}f$.
2. Für jeden holomorphen Repräsentanten

   $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}g$.

3. Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten

   $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

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