Pythagoras/Motivation für Wurzel/Bemerkung

Aus der elementaren Geometrie der Ebene ist der Satz des Pythagoras bekannt, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenlänge ${}c$ und den Kathetenlängen ${}a$ und ${}b$ die Gleichheit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

gilt. Die Flächeninhalte der Quadrate zu den Katheten ergänzen sich also zum Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates. Ein besonders bekanntes rechtwinkliges Dreieck ist das mit den ganzzahligen Seitenlängen ${}3,4,5$. Man kann beliebige Seitenlängen ${}a,b$ vorgeben und diese miteinander rechtwinklig anordnen und erhält durch Verbindung der beiden anderen Enden ein rechtwinkliges Dreieck. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ist dann die Länge der Hypotenuse (nicht nur geometrisch, sondern auch) rechnerisch festgelegt. Die Hypotenusenlänge sollte also, wenn ${}a$ und ${}b$ sinnvolle Streckenlängen sind, auch eine sinnvolle, mathematisch erfassbare Streckenlänge sein. Dies muss insbesondere für ganzzahlige ${}a,b$ gelten, für die Summe ${}a^{2}+b^{2}$ von zwei Quadratzahlen sollte es also stets eine Zahl geben, deren Quadrat gleich dieser Summe ist.