Der
(Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene
(Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch
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oder die trigonometrische Parametrisierung
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Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.
Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt auf der -Achse auf den Durchstoßungspunkt abbildet, den der Einheitskreis mit der durch
und
definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung
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bzw.
.
Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man
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und damit
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Da uns die erste Lösung
nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor
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die zu
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führt. Die Abbildung
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ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.