QX mod X^3-7/Inverse von 3X+4/Aufgabe/Lösung

Wir machen Division mit Rest von ${}X^{3}-7$ durch ${}3X+4$ . Das ergibt

X^{3}-7=(3X+4){\left({\frac {1}{3}}X^{2}-{\frac {4}{9}}X+{\frac {16}{27}}\right)}-{\frac {253}{27}}.

Also ist

(3x+4){\left({\frac {1}{3}}x^{2}-{\frac {4}{9}}x+{\frac {16}{27}}\right)}={\frac {253}{27}}\mod X^{3}-7

und daher ist das Inverse von ${}3x+4$ gegeben durch

{\frac {27}{253}}{\left({\frac {1}{3}}x^{2}-{\frac {4}{9}}x+{\frac {16}{27}}\right)}={\frac {9}{253}}x^{2}-{\frac {12}{253}}x+{\frac {16}{253}}.