Q in Qi/Galoisgruppe mit Gruppenstruktur/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$. Ein ${}\mathbb {Q}$-Algebrahomomorphismus muss ${}{\mathrm {i} }$ auf eine Nullstelle von ${}X^{2}+1$ schicken, also auf ${}{\mathrm {i} }$ oder auf ${}-{\mathrm {i} }$. Die dadurch definierten surjektiven Einsetzungshomomorphismen

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$

legen nach dem Isomorphiesatz einen ${}\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismus

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$

fest. Die Galoisgruppe besteht also aus der Identität und der Konjugation ${}a+b{\mathrm {i} }\mapsto a-b{\mathrm {i} }$. Die Identität ist das neutrale Element dieser Gruppe und die Hintereinanderausführung der Konjugation ist die Identität, was die Gruppenstruktur festlegt.

Zur gelösten Aufgabe