Quadrat/Standardvektoren als Ecken/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe/Lösung

1. Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

2. Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der ${}x$-Achse, der ${}y$-Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

3. Wegen

   ${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

   ist die Gruppe nicht kommutativ.

Zur gelösten Aufgabe