Quadratabbildung/Reell/Ohne Punkt/Nicht endlich/Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist eigentlich und hat nur endliche Fasern, ist also endlich. Die Eigentlichkeit beruht hier darauf, dass kompakte Mengen in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ beschränkt und abgeschlossen sind und dass Urbilder beschränkter Mengen unter der Quadrierungsabbildung wieder beschränkt sind. Wenn man beispielsweise die ${}-1$ aus dem Definitionsbereich herausnimmt, so geht die Eigentlichkeit verloren. Beispielsweise ist das Urbild der kompakten Teilmenge ${}[0,1]$ die Menge ${}]-1,1]$, die wegen der fehlenden Grenze links nicht mehr kompakt ist.