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Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe/Lösung
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Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe
Die Norm von
1
+
D
2
{\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}
ist
1
+
D
2
⋅
1
−
D
2
=
1
−
D
4
,
{\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1-D}{4}}\,,}
bei
D
=
4
r
+
1
{\displaystyle {}D=4r+1\,}
ist dies gleich
−
r
{\displaystyle {}-r}
. Damit eine Einheit vorliegt, muss dies eine Einheit in
Z
{\displaystyle {}\mathbb {Z} }
sein, also gleich
1
{\displaystyle {}1}
oder
−
1
{\displaystyle {}-1}
. Dies bedeutet
D
=
−
3
{\displaystyle {}D=-3}
oder
D
=
5
{\displaystyle {}D=5}
.
Zur gelösten Aufgabe