Quadratische Erweiterungen von Z/D ist -11/Nichteinheit mit minimaler Norm/Aufgabe/Lösung

Die Elemente in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$ haben die Form

$z=a+b{\sqrt {-11}}$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$. Die Norm davon ist

${}N(z)=a^{2}+11b^{2}\,.$

Bei ${}b\geq 1$ ergibt sich zumindest ${}N(z)\geq 11$. Bei ${}b=0$ und ${}a=\pm 2$ ergibt sich die Norm ${}4$. Bei ${}b=0$ und ${}a=\pm 1$ liegt eine Einheit vor, so dass ${}(\pm 2,0)$ die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element ${}z$ ist irreduzibel, da aus ${}z=uv$ folgt ${}4=N(u)N(v)$. Da es aber kein Element mit Norm ${}\pm 2$ gibt, muss ${}u$ oder ${}v$ die Norm ${}\pm 1$ haben, also eine Einheit sein.

Zur gelösten Aufgabe