Quadratische Gleichung/Normiert/Lösung/Andere Lösung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom ${}X^{2}+pX+q$ die Faktorzerlegung

${}X^{2}+pX+q=(X-r){\left(X-{\frac {q}{r}}\right)}\,$

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

${}-r-{\frac {q}{r}}={\frac {-r^{2}-q}{r}}={\frac {-{\left(-pr-q\right)}-q}{r}}={\frac {pr+q-q}{r}}=p\,,$

so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${}{\frac {q}{r}}$ einsetzt, kommt offenbar ${}0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.

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