Quadratische Gleichungen/Durchschnitt/1/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Lösungen des Gleichungssystems

{}x^{2}+xy+3y^{2}=3\,

und

{}2x^{2}-xy+y^{2}=4\,.

Die Summe der beiden Gleichungen ist

{}3x^{2}+4y^{2}=7\,

und ${}2I-II$ ist

{}3xy+5y^{2}=2\,.

Mit der letzten Gleichung schreiben wir

{}x={\frac {2-5y^{2}}{3y}}\,,

wobei es bei ${}y=0$ definitiv keine Lösung gibt. Wir setzen diesen Ausdruck für ${}x$ in die obige Gleichung ein und erhalten

{}3{\left({\frac {2-5y^{2}}{3y}}\right)}^{2}+4y^{2}=7\,.

Multiplikation mit ${}3y^{2}$ führt auf

{}{\begin{aligned}0&={\left(2-5y^{2}\right)}^{2}+12y^{4}-21y^{2}\\&=4-20y^{2}+25y^{4}+12y^{4}-21y^{2}\\&=37y^{4}-41y^{2}+4.\end{aligned}}

Dies ist eine biquadratische Gleichung.