Wir setzen
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und betrachten die Multiplikation
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Diese Abbildung ist ebenfalls
-linear
und bijektiv. Wegen
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ist die Norm von gleich und somit ist
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d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit
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als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung ist ebenfalls -linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass auf abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder . Es ist
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mit . Die Normbedingung liefert
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Ferner ist
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und die Normbedingung liefert
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Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen
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bzw.
,
also
.
Daraus ergibt sich
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was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.