Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Beschreibung (ohne Ganzheit)/Beispiel

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form

${}z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$

mit ganzen Zahlen ${}a$ und ${}b$. Insbesondere ist

${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi \mathrm {i} /3}\,$

eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also $\omega ^{3}=1$), so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen ${}\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ und

${}\omega \neq 1\,$

gilt die Gleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$