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Quadratische Zahlbereiche über Z/D ist -5/Anzahl von modulo (2,1+sqrt(-5))/Aufgabe/Lösung
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Quadratische Zahlbereiche über Z/D ist -5/Anzahl von modulo (2,1+sqrt(-5))/Aufgabe
Es ist
A
−
5
=
Z
[
X
]
/
(
X
2
+
5
)
{\displaystyle {}A_{-5}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5)\,}
und somit
A
−
5
/
a
=
(
Z
[
X
]
(
X
2
+
5
)
)
/
(
2
,
1
+
X
)
=
Z
[
X
]
/
(
2
,
1
+
X
,
X
2
+
5
)
=
Z
/
(
2
)
[
X
]
/
(
X
+
1
)
=
Z
/
(
2
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}A_{-5}/{\mathfrak {a}}&=(\mathbb {Z} [X](X^{2}+5))/(2,1+X)\\&=\mathbb {Z} [X]/(2,1+X,X^{2}+5)\\&=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)\\&=\mathbb {Z} /(2),\end{aligned}}}
da man
X
{\displaystyle {}X}
durch
1
{\displaystyle {}1}
ausdrücken kann. Der Restklassenring besitzt also
2
{\displaystyle {}2}
Elemente.
Zur gelösten Aufgabe