Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/ist faktoriell/nicht euklidisch/Beispiel

Es sei ${}R=A_{-19}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-19$, also ${}A_{-19}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$ bzw. ${}A_{-19}\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y+5)$. Wir wissen aufgrund von Fakt, dass ${}R$ nicht euklidisch ist. Dennoch ist ${}R$ faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen ${}p\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}$ zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzen. Diese Abschätzung wird nur von ${}p=2$ erfüllt. Für ${}p=2$ ist der Restklassenring

${}R/(2)\cong \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$

ein Körper, sodass ${}2$ träge in ${}R$ ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.