Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich ${}2$ ist. Wäre nämlich ${}{\mathfrak {p}}=(f)$ mit einem ${}f\in R$, so müsste nach Fakt auch

${}\vert {N(f)}\vert =2\,$

gelten. Allerdings ist die Norm von ${}f=a+b{\sqrt {-5}}$ gleich ${}N(f)=a^{2}+5b^{2}$ und dies kann nicht gleich ${}2$ sein.