Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in
Fakt
gezeigt. Es seien
und
strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein mit positiver Norm und mit
.
Für jedes gilt
nach Fakt
und
Fakt
daher ist das Diagramm
-
kommutativ. Da die Multiplikation mit ein
-Modulisomorphismus
und insbesondere ein
(orientierter)
Gruppenisomorphismus zwischen
und
ist, der durch eine Matrix mit Determinante gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.
Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form gegeben, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich
bzw.
sei. Im zweiten Fall ist gerade und somit ist in beiden Fällen ein Element aus .
Bei
betrachten wir
-
Dies ist ein Ideal.
Wegen
Fakt
ist
-
-
und
(für den Fall )
und
Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch
dividiert, so erhält man die Werte und , was mit den Werten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.
Für den Fall
setzt man
-
siehe
Aufgabe.
Schließlich seien Ideale
und
gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie
durch eine Matrix mit Determinante miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation
-
vor. Wir multiplizieren das Ideal mit und das Ideal mit . Dann haben beide Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende
-lineare Abbildung
-
vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende
-lineare Abbildung
-
Nach
Aufgabe
ist dies die Multiplikation mit einem Element des Körpers
(die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus).
Es ist also
-
Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor
(wie zuvor die Idealnormen)
eine positive Norm besitzen.