Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt

Es sei ${}R$ der imaginär-quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$.

Dann stimmt die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ mit der Einheitswurzelgruppe ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.

1. Bei ${}\triangle =-3$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(6)$.
2. Bei ${}\triangle =-4$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(4)$.
3. Bei ${}\triangle \leq -5$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen