Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}c$ eine Idealklasse. Die inverse Klasse ${}c^{-1}$ wird durch ein Ideal ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R$ repräsentiert. Nach Fakt enthält ${}{\mathfrak {b}}$ ein Element ${}f$, ${}f\neq 0$, mit

${}\vert {N(f)}\vert \leq {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {b}})&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {b}})&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

Wir setzen ${}{\mathfrak {a}}:=(f){\mathfrak {b}}^{-1}$, was nach dem Satz von Dedekind zu ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(f)$ äquivalent ist. Dieses ${}{\mathfrak {a}}$ ist ein Ideal, da ja ${}{\mathfrak {b}}^{-1}$ nach Fakt alle Elemente aus ${}{\mathfrak {b}}$ nach ${}R$ multipliziert. Nach Fakt und nach Fakt ist

${}N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=N((f))=\vert {N(f)}\vert \,.$

Daher ist

${}N({\mathfrak {a}})={\frac {|N(f)|}{N({\mathfrak {b}})}}\leq {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

Zur bewiesenen Aussage