Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$, das die Normbedingung

${}N({\mathfrak {p}})\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

erfüllt, ein Hauptideal sei. Dann ist ${}A_{D}$ faktoriell.

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