Quadratisches Polynom/Eingeschlossene Fläche/2/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung

${}x^{2}-3x-2=0\,$

ist äquivalent zu

${}{\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}=2+{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{2}={\frac {17}{4}}\,,$

somit sind die Nullstellen dieses Polynoms gleich

${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {17}}+3}{2}}\,.$

Im Intervall ${}[{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}},{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}]$ ist ${}f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals

${}{\begin{aligned}\int _{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}^{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}x^{2}-3x-2\,dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}-2x\right)|_{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}^{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{3}\right)}-{\frac {3}{2}}{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{2}\right)}-2{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)\right)}\\&={\frac {1}{3}}{\left({\frac {17{\sqrt {17}}}{4}}+{\frac {27{\sqrt {17}}}{4}}\right)}-{\frac {3}{2}}\cdot 6{\sqrt {17}}-2{\sqrt {17}}\\&=-{\frac {22}{3}}{\sqrt {17}}.\end{aligned}}$

Der Flächeninhalt ist also gleich ${}{\frac {22}{3}}{\sqrt {17}}$.

Zur gelösten Aufgabe