Quadratisches Polynom/Kurvendiskussion/Wertapproximation/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Es sind ${}1$ und ${}2$ die Nullstellen von ${}f$ .
Es ist
${}f'(x)=2x-3\,$

mit der einzigen Nullstelle bei

${}x={\frac {3}{2}}\,.$

Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

${}f\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {9}{4}}-3\left({\frac {3}{2}}\right)+2=-{\frac {1}{4}}\,$

vor.
Es ist
${}f(0)=2>1\,$

und

${}f(1)=0<1\,,$

deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo ${}f$ den Wert ${}1$ annimmt. Es ist

${}f\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{2}}+2={\frac {3}{4}}<1\,.$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${}[0,{\frac {1}{2}}]$ . Es ist

${}f\left({\frac {1}{4}}\right)=\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{4}}+2={\frac {21}{16}}>1\,.$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]$ . Es ist

${}f\left({\frac {3}{8}}\right)=\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {3}{8}}+2={\frac {65}{64}}>1\,.$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${}[{\frac {3}{8}},{\frac {1}{2}}]$ .
Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
${}x^{2}-5x+1=0\,,$

was auf

${}x_{1},x_{2}={\frac {5\pm {\sqrt {25-4}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {21}}}{2}}\,$

für die ${}x$ -Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei ${}x_{1}$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch ${}g$ , der ${}x$ -Achse und die vertikalen Achsen durch ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ begrenzten Vierecks ${}V$ die Flächeninhalte unterhalb von ${}f$ zwischen ${}x_{1}$ und ${}1$ und zwischen ${}2$ und ${}x_{2}$ abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

${}(x_{2}-x_{1}){\frac {g(x_{1})+g(x_{2})}{2}}={\frac {5+{\sqrt {21}}-5+{\sqrt {21}}}{2}}\cdot {\frac {12}{2}}=6{\sqrt {21}}\,.$

Eine Stammfunktion zu ${}f$ ist

${}F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+2x\,.$

die relevanten Werte sind

${}F(1)={\frac {1}{3}}-{\frac {3}{2}}+2={\frac {5}{6}}\,,$

${}F(2)={\frac {8}{3}}-6+4={\frac {2}{3}}\,,$

${}{\begin{aligned}F(x_{1})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125-75{\sqrt {21}}+15\cdot 21-21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25-10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440-96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46-10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55-12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23-5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(-4+{\frac {15}{4}}-1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}},\,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}F(x_{2})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125+75{\sqrt {21}}+15\cdot 21+21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25+10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440+96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46+10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55+12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23+5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(4-{\frac {15}{4}}+1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}+{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}.\,\end{aligned}}$

Der gesuchte Flächeninhalt ist

${}{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {21}}-(F(1)-F(x_{1}))+\vert {F(2)-F(1)}\vert -(F(x_{2})-F(2))\\&=6{\sqrt {21}}-F(1)+F(x_{1})+F(1)-F(2)-F(x_{2})+F(2)\\&=6{\sqrt {21}}+F(x_{1})-F(x_{2})\\&=6{\sqrt {21}}+{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}-{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}\\&={\frac {7}{2}}{\sqrt {21}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe