Quadratisches Polynom/R/1 Variable/Quadratische Ergänzung/Beispiel

Zu einem quadratischen Polynom ${}aX^{2}+bX+c$ in einer Variablen ${}X$ mit ${}a,b,c\in K$ und ${}a\neq 0$ findet man die Nullstellen durch quadratisches Ergänzen. D.h. man schreibt (die Charakteristik des Körpers sei nicht ${}2$)

${}aX^{2}+bX+c=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\,.$

Dies ist genau dann gleich ${}0$, wenn

${}X=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\,$

und die Wurzel

${}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\frac {1}{2a}}{\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.