Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/2/Aufgabe/Lösung

Der rein-quadratische Term des quadratischen Polynoms wird durch die symmetrische Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Das charakteristische Polynom dazu ist

${}{\begin{aligned}(X-1)(X+4)-9&=X^{2}+3X-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$

Die Eigenwerte sind also

${}\lambda _{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {61}}}{2}}-{\frac {3}{2}}\,.$

Ein Eigenvektor zu Eigenwert ${}{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist

${\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$

und ein Eigenvektor zu Eigenwert ${}-{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist

${\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}.$

Normierte Eigenvektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ sind somit ${}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$. Es seien ${}s,t$ die Koordinatenfunktionen zu dieser neuen Basis. Zwischen den Koordinaten besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3\\{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}\,,$

wobei wir diese Übergangsmatrix ${}B$ nennen. Somit ist

${}{\begin{aligned}X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2&={{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}M{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}-3X+Y+2\\&={{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{B^{\text{tr}}}MB{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}-3X+Y+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+{\left(-9{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}+{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\right)}s+{\left(-9{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}+{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\right)}t+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+{\frac {-23+{\sqrt {61}}}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}s+{\frac {-23-{\sqrt {61}}}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}t+2.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe