Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Reine Form/Liste/Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen ${}X$ und ${}Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf ${}0,1,-1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable ${}X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.

• ${}X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine „verdoppelte Gerade“.

• ${}X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}X=\pm 1$, das Nullstellengebilde besteht also aus zwei parallelen Geraden.

• ${}X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist leer.

In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.

Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.

• ${}Y^{2}-X\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Parabel.

• ${}Y^{2}-X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}(Y-X)(Y+X)=0$, das Nullstellengebilde besteht also aus zwei sich kreuzenden Geraden.

• ${}Y^{2}+X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Die einzige Lösung ist der Punkt ${}(0,0)$, das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

• ${}Y^{2}-X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}(Y-X)(Y+X)=1$, das Nullstellengebilde ist also eine Hyperbel.

• ${}Y^{2}+X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist der Einheitskreis.

• ${}Y^{2}+X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist wieder leer.