Quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Reine Form/Alle Variablen/Liste/Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen ${}X,Y$ und ${}Z$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf ${}0,1,-1$ beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.

• ${}Y^{2}+X^{2}-Z\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein Paraboloid.

• ${}Y^{2}-X^{2}-Z\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Sattelfläche.

• ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$ ${}\,$ ${}\,$ Die einzige Lösung ist der Punkt ${}(0,0,0)$, das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

• ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Sphäre, also die Oberfläche einer Kugel.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist die Lösungsmenge zur Gleichung ${}Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$. Das ist ein runder (Doppel)-Kegel.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}-1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein einschaliges Hyperboloid.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}+1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein zweischaliges Hyperboloid.