Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Verlauf/Aufgabe/Lösung

a) Das gesuchte Polynom sei

${}f(x)=ax^{2}+bx+c\,.$

Dann ist

${}f'(x)=2ax+b\,.$

Die Bedingung, dass der Graph zu ${}f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ schneidet, bedeutet

$a+b+c=1\,\,{\text{ und }}\,\,a-b+c=1.$

Die Steigung der Diagonale ist ${}1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

${}2a+b=1\,.$

Die Steigung der Gegendiagonale ist ${}-1$. Dies bedeutet somit

${}-2a+b=-1\,.$

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

${}b=0\,$

und somit

${}a={\frac {1}{2}}\,.$

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

${}c={\frac {1}{2}}\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${}f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\,.$

b) Für ${}x\geq 0$ ist zu zeigen, dass ${}P(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\geq x$ und für ${}x\leq 0$ ist zu zeigen, dass ${}P(x)\geq -x$ ist. Im ersten Fall ist

${}P(x)-x={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}-x={\frac {1}{2}}{\left(x^{2}-2x+1\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x-1\right)}^{2}\geq 0\,$

und im zweiten Fall ist

${}P(x)-x={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}+x={\frac {1}{2}}{\left(x^{2}+2x+1\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x+1\right)}^{2}\geq 0\,.$

Zur gelösten Aufgabe