Quadratsumme/Hyperfläche/Reell/Beispiel

Zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2},$

die durch die Summe der Quadrate gegeben ist, besteht die Faser über dem Nullpunkt allein aus dem Punkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$. Ein einziger Punkt besitzt aber (in jeder sinnvollen Dimensionstheorie) die Dimension ${}0$ und nicht, wie bei komplexen Hyperflächen, die Dimension ${}n-1$. Über ${}{\mathbb {C} }$ kann man sich die ersten ${}n-1$ Koordinaten frei vorgeben und hat dann für die letzte Variable ${}x_{n}$ noch zwei (gelegentlich eine) Wahlmöglichkeiten, da jede komplexe Zahl ${}\neq 0$ zwei Quadratwurzel besitzt.