Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt/Beweis

Beweis

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass

${}x\in \mathbb {Q} \,$

die Eigenschaft besitzt, dass

${}x^{2}=2\,$

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl ${}x$ können wir somit als

${}x={\frac {a}{b}}\,$

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, ${}a$ oder ${}b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit ${}2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

${}x^{2}=2\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$

Multiplikation mit ${}b^{2}$ ergibt die Gleichung

${}2b^{2}=a^{2}\,$

(dies ist eine Gleichung in ${}\mathbb {Z}$ bzw. sogar in ${}\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass ${}a^{2}$ gerade ist, da ja ${}a^{2}$ ein Vielfaches der ${}2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass ${}a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

${}a=2c\,$

mit einer ganzen Zahl ${}c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

${}2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$

Wir können mit ${}2$ kürzen und erhalten

${}b^{2}=2c^{2}\,.$

Also ist auch ${}b^{2}$ und damit ${}b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl ${}a$ als auch ${}b$ gerade sind.

Zur bewiesenen Aussage